数学 | ことねの部屋

高校の頃に見つけた面白い黄金比の三角形。
これってお名前、あるんでしょうかね？

簡単な実験をします。
直角三角形を思い浮かべて下さい。
どんな形でしょうか？

以前友達に聞いてみました。
すると、二通りの答えが帰ってきます。
a. 30-60-90の形
b. 45-45-90の形

b. のほうはわかりますね。
二等辺三角形ですし。
白銀比ですし。
直感的に美しいです。

でも30-60-90って、とても曖昧です。
少し間延びしてる、かもしれないし。
少し縮こまってる、かもしれないし。
みんなはどんな形を想像しているのだろう？

はてな？

ひょんなことから一つの仮説が生まれました。

ある日、こんなことを考えました。

三辺の長さがそれぞれ $a, b, c$ である直角三角形。

長さは $a < b < c[/latex] とします。では [latex]a : b : c = 1 : n : n^2[/latex] の三角形はどんな形� ろう？計算してみました。有名なピタゴラスの定理 [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex] を用います。計算の簡略化のため [latex]a=1, b=n, c=n^2[/latex] としました。 [latex] 1^2 + n^2 = (n^2)^2 \\ c=n^2 \\ 1 + c = c^2 \\ c^2 - c - 1 = 0 \\ [/latex] ここまで解いたところで解の公式を適用します。 [latex] \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1 \times (-1))}}{2} \\ \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\ c > 0 \\ \therefore c = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi \\ a = 1, b = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\phi}, c = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi$

という解が得られます。

この最後に出てくる $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ こそが黄金比です。

さらに $arcsin a/c, arccos a/c$ を計算すると。

それぞれの角度が
38.1727076°
51.8272924°
90°
であることがわかりました。

これは30-60-90の三角形をとって
ぎゅっと長い方を少し縮めた感じ。

ほほうなるほど。

偶然にも発見してしまったこの三角形。
黄金比Φを含む、等比な三辺を持つ三角形。
実はこれ以外には存在しえないんです。

なぜ？

$\phi^2 = \phi + 1$ となるため、三角形が定義上作れないんです。

ふしぎですね。

みなさんが思い浮かべるその直角三角形。
唯一存在する黄金の直角三角形かもしれませんね。