黄金比の三角形

高校の頃に見つけた面白い黄金比の三角形。
これってお名前、あるんでしょうかね?

簡単な実験をします。
直角三角形を思い浮かべて下さい。
どんな形でしょうか?

以前友達に聞いてみました。
すると、二通りの答えが帰ってきます。
a. 30-60-90の形
b. 45-45-90の形

b. のほうはわかりますね。
二等辺三角形ですし。
白銀比ですし。
直感的に美しいです。

でも30-60-90って、とても曖昧です。
少し間延びしてる、かもしれないし。
少し縮こまってる、かもしれないし。
みんなはどんな形を想像しているのだろう?

はてな?

ひょんなことから一つの仮説が生まれました。

ある日、こんなことを考えました。

三辺の長さがそれぞれ a, b, c である直角三角形。

長さは

という解が得られます。

この最後に出てくる \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} こそが黄金比です。

さらに arcsin a/c, arccos a/c を計算すると。

それぞれの角度が
38.1727076°
51.8272924°
90°
であることがわかりました。

これは30-60-90の三角形をとって
ぎゅっ と長い方を少し縮めた感じ。

ほほう なるほど。

偶然にも発見してしまったこの三角形。
黄金比Φを含む、等比な三辺を持つ三角形。
実はこれ以外には存在しえないんです。

なぜ?

\phi^2 = \phi + 1 となるため、三角形が定義上作れないんです。

ふしぎですね。

みなさんが思い浮かべるその直角三角形。
唯一存在する黄金の直角三角形かもしれませんね。

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